Somme de variables aléatoires

Définition

Soit  \(X\)  et  \(Y\)  deux variables aléatoires définies sur un même univers  \(\Omega\) .
La variable aléatoire  \(X+Y\)  est définie par :  pour tout  \(\omega \in \Omega\) ,  \((X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)\) .

Exemple

Un supporter de football  a étudié  le nombre de buts marqués par son équipe au cours d'une saison. On considère un match au hasard de cette équipe et on  appelle  \(X\)  le nombre de buts marqué par cette équipe en première mi-temps de ce match  et  \(Y\)  le nombre de buts marqués en seconde mi-temps de ce match. Ainsi,  \(X+Y\)  représente le nombre de buts marqués par cette équipe  au cours du match.
D'après l'étude  de ce supporter, on peut construire l'arbre de probabilités suivant.

La variable aléatoire  \(X+Y\)  prend les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4.
Il est alors possible d'établir la loi de  \(X+Y\)  en s'appuyant sur cet arbre de probabilités.
Par exemple, on a  \(P(X+Y=1)=P(X=0 \cap Y=1)+P(X=1 \cap Y=0)=0,55 \times 0,6 + 0,4 \times 0,35 =0,47\)

La loi de  \(X+Y\)  peut alors résumée dans le tableau suivant.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline P(X+Y=k) & 0,165 & 0,47 & 0,27 & 0,085 & 0,01 \\ \hline\end{array}\)